Alexander Melnikov absolvierte sein Studium am Moskauer Konservatorium bei Lev Naumov und beschäftigte sich schon früh mit der historischen Aufführungspraxis. Der russische Pianist steht heute regelmäßig mit namhaften Ensembles für Alte Musik wie dem Freiburger Barockorchester, Musica Aeterna, der Akademie für Alte Musik Berlin oder dem Orchestre des Champs-Élysées auf der Bühne und ist ebenso bei renommierten Orchestern als Solist gefragt, u. a. beim Royal Concertgebouw Orchestra, Gewandhausorchester Leipzig, Philadelphia Orchestra, NDR Elbphilharmonie Orchester, dem Russian National Orchestra, BBC Philharmonic oder dem NHK Symphony. Er arbeitet zudem mit Dirigenten wie Mikhail Pletnev, Paavo Järvi, Thomas Dausgaard oder Valery Gergiev.
Die intensive Pflege der Kammermusik ist für Melnikov ebenso unverzichtbarer Bestandteil seiner Arbeit, beispielsweise mit dem Cellisten Jean-Guihen Queyras und mit seiner langjährigen Duopartnerin Isabelle Faust. Die gemeinsame Gesamteinspielung sämtlicher Beethoven-Violinsonaten, die mit dem Gramophone Award ausgezeichnet und für den Grammy nominiert wurde, gilt als Referenzaufnahme. Auch Melnikovs Einspielungen der Präludien und Fugen op. 87 von Schostakowitsch wurden vom BBC Music Magazine als eine der 50 wichtigsten Aufnahmen aller Zeiten genannt. Seit 2017/18 präsentiert Alexander Melnikov mit dem Projekt ›Der Mann mit den vielen Klavieren‹ ein Programm, das auf verschiedenen historischen Instrumenten gespielt wird und den jeweiligen Stil der Zeit widerspiegelt. Höhepunkt in der Saison 2018/19 ist u. a. eine Residenz in der Londoner Wigmore Hall.